콥-더글라스 생산함수(Cobb-Douglas Production Function)의 의미와 속성! [이춘근교수 미시경제학 티스토리 89회]

▣ 콥-더글러스생산함수의 의미
콥-더글러스생산함수(Cobb-Douglas Production Function)는 한계생산력과 생산요소 사이의 관계를 규명하기 위해 창안된 대표적인 1차동차 생산함수이데, 콥과 더글러스에 의해 1928년에 발표되었다.
수식으로는 Q=A×L^α ×K^β로 표시된다.
여기서 Q는 산출량(생산량), L은 노동투입량, K는 자본량을, 그리고 A는 상수항을 각각 나타낸다.b콥 더글러스 생산함수의 특징은 노동량과 자본량에 대한 지수(指數)의 합(合)이 1이 된다는 점이다. 따라서 노동량과 자본량을 동시에 k배 증가시키면 생산량도 마찬가지로 k배 증가한다. 이를 1차 동차의 관계라 한다.
 
▣ 콥-더글러스생산함수의 속성
1. 다루기가 쉽다. 위의 함수에서 양변 모두 대수(代數)를 취하면, logQ=logA+αlogL+βlogK 이 된다. 즉 대수를 취하면 선형이 되므로 다루기가 쉽고 단순하다.
 
2. 만약 β=1-α라고 하면, 콥다그라스생산함수는 1차동차 생산함수가 된다. 이를 보기 위해서 L과 K를 각각 a배씩 증가 투입시키면

즉 콥다그라스생산함수는 1차동차 생산함수가 되며, 규모에 대한 수확불변 현상을 나타낸다.
여기서 α+β>1 이면 규모에 대한 보수증가가 되고, α+β<1 이면 규모에 대한 보수감소가 된다.
실제 1920-1930년 미국 메사추세츠주의 제조업 통계자료를 이용하여 생산함수를 구해보니
Q=1.01L^0.75ㆍK^0.25 로 측정되었다고 한다.
 

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3. α는 노동에 대한 생산량의 부분탄력도(생산의 노동탄력성)를 나타내고, β는 자본에 대한 생산량의 부분탄력도(생산의 자본탄력성)를 나타낸다. 이를 수식으로 설명하면 다음과 같다.

 
4. 콥-다그라스 생산함수는 수확체감현상을 나타낸다.
자본투입량(K)을 고정시키고 노동투입량(L)만을 증가시키는 경우를 보면,

 
5. 콥 다글라스 생산함수가 1차 동차인 경우에는 알파와 베타가 각각 노동과 자본에 산출물에서의 분배 몫을 나타낸다. 다음은 산출물에서 노동(L)이 차지하는 몫을 나타내는데 노동에 대한 산출량의 부분 탄력도를 계산하는 방식과 같다.  자본의 몫도 마찬가지로 설명이 된다.
 

즉, 산출량은 노동과 자본의 모두 남김없이 분배되는데 이를 오일러의 정리(Euler's Theorem)라고 한다.