경제학에서 한계원리의 중요성과 도함수와 미분계수, 곡선의 기울기! [이춘근 경제학원론 티스토리 33회]

경제학에서는 한계(marginal의 개념이 아주 중요하다. 경제학에서 중요한 개념인 한계효용(marginal utility), 한계생산(marginal product), 한계비용(marginal cost). 한계수입(marginal revenue), 한계대체율, 한계기술대체율, 한계변환율 등 한계개념을 많이 사용한다.
소비지나 생산자가 재화를 소비하거나 생산할 때 최적의 결정을 하기 위해서는 한계개념을 이해해야 한다. 소비자가 여러 가지 재화를 소비할 때 최대의 만족을 얻기 위해서는 각 재화의 한계효용이 같게 되도록 소비하는 것이다. 경제학의 소비이론과 생산이론 등에서 한계개념은 분모와 분자에 델타(△; 변동분)가 포함된 것이다. 소비자선택이론에서 한계효용은 어떤 재화를 추가적으로 1단위 더 소비함으로써(분모), 추가적으로 얻게 되는 총효용의 증가분(분자)이다.

한계원리(marginal principles)란 추가적인 활동에 따른 편익이 비용보다 크면 그 활동을 늘리고, 추가적인 활동에 따른 편익이 비용보다 작으면 그 활동을 줄이라는 것이다.

 

여기서

이 된다.  즉 TU(총효용)함수를 1차 미분하면 MU(한계효용)함수가 된다. 다른 함수들도 마찬가지로 설명된다.
 
그리고, 생산이론에서 기업의 최대이윤조건은 무조건 MC(한계비용)=MR(한계수입) 이다. 그 이유는 어떤 재화를 추가로 1단의 더 생산함에 따른 총비용의 증가분(MC)이 총수입의 증가분(MR)과 같게 되도록 생산해야 기업가에게 최대의 이윤을 보장해 주기 때문이다. 만약 어떤 재화를 추가로 1단위 더 생산함에 따른 총비용의 증가분(MC)이 총수입의 증가분(MR)보다 크다면 재화의 생산량을 줄여야 하고, 그 반대면 생산량을 늘려야 하기 때문이다. 그래서 MC=MR이 같게 되도록 생산해야 기업가에게 최대의 이윤을 보장해 준다.
 
만약, 다음의 1시간을 어떻게 보낼 것인가? 추가적인 1만원을 가지고 무엇을 할지 결정하는 것들을 한계결정(marginal decisions)이라고 한다. 한계결정은 한계상황에서 상충관계를 고려함으로써 이루어진다. 한마디로 어떤 활동을 아주 약간 더 하는 것과 아주 약간 덜한 것의 편익과 비용을 비교하는 것이다. 이러한 종류의 의사결정을 연구하는 것을 한계분석(marginal analysis)이라고 한다.
 

한정된 생활비로 알뜰하게 생계를 꾸리는 인간의 소비생활은 결국 그 생활비로 얻을 수 있는 최대의 효용을 추구하는 경제행위이다. 대부분의 소비자는 효용의 개념조차 모르고 소비하겠지만, 같은 생활비로 꾸릴 수 있는 다른 소비생활을 버리고 현재의 소비를 선택하는 까닭은 현재의 소비가 그중 제일 낫기 때문일 것이다. 즉 모든 소비자는 각자 얻을 수 있는 최대의 효용을 누리는 합리적 소비생활을 영위하고 있다. 물론 그렇다고 해서 소비자가 행복하다는 뜻은 아니다. 소득이 매우 낮은 소비자는 아무리 알뜰하게 살림해도 불행할 수도 있다.

 

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소비자가 선택한 소비생활에서 한계효용은 흥미로운 모습을 보인다. 밥을 짓기 위하여 시장에 나가서 쌀과 콩을 사 온 영희의 소비생활을 보자. 주어진 돈으로는 쌀을 1원어치 줄이고 그 대신 콩을 1원어치 더 살 수도 있었다. 쌀 1원어치의 한계효용보다 콩 1원어치의 한계효용이 더 크다면 그렇게 함으로써 전체 효용을 더 늘릴 수가 있다. 반대로 쌀의 한계효용이 더 크다면 콩 대신 쌀을 더 사는 것이 더 낫다. 그런데 영희는 그렇게 하지 않았다. 그러므로 우리는 영희가 선택한 현재의 상태에서는 쌀 1원어치의 한계효용이 콩 1원어치의 한계효용과 같음을 읽어낼 수 있다. 일반적으로 소비자가 결정하는 소비생활에서는 재화별 1원어치의 한계효용은 모두 서로 같게 소비하는 것이 소비자에게 최대의 효용(만족)을 가져다준다는 사실이다. 이 사실을 한계효용균등의 법칙이라고 한다.
 
한계의 원리는 소비생활에만 국한하지 않는다. 생산의 경우 노동을 한 단위 더 투입할 때 추가로 늘어나는 생산량을 노동의 한계생산(marginal product)이라고 한다. 자본의 한계생산도 같은 방법으로 정의한다. 기업이 상품 한 단위를 더 생산하는 데 추가로 부담하는 비용을 한계비용(marginal cost)이라고 하고, 상품 한 단위를 더 내다 팔 때 추가로 늘어나는 판매수입을 한계수입(marginal revenue)이라고 한다.
현재의 생산 수준에서 한계수입이 한계비용보다 더 크다면 기업은 생산을 한 단위 더 늘림으로써, 작다면 줄임으로써 각각 이윤을 더 늘릴 수 있다. 그러므로 기업이 현재 최대이윤을 얻고 있다면 한계수입과 한계비용은 서로 같아야 한다. 그래서 기업의 이윤극대화조건은 무조건 MR=MC이다. 경제행위의 분석에서 한계의 원리는 이처럼 매우 중요하게 쓰인다.
 
▣ 도함수(導函數)와 곡선의 기울기
아래 그림은 원시함수 C=f(Q)의 그래프이다. 직선 AB의 기울기=AE/BE(두 선분의 비율)=이다. 이 비율은 평균변화율의 척도가 되고, 차분계수를 나타낸다.

그리고, B점에서의 곡선 C=f(Q)의 기울기는 특정한 도함수(미분계수) 값 f’(Q1)에 해당한다. A점에서 이 곡선의 기울기는 도함수 값 f’(Q2)이 된다.
그리고, 수요곡선이나 공급곡선, 총비용곡선, 총생산곡선 등에서 한 점에서의 기울기는 그 점에서 그은 접선의 기울기와 같다. 그리고 어떤 곡선 두 점 사이의 기울기는 두 점을 직선을 연결한 접선의 기울기와 같다.
 

▣ 도함수와 미분

함수 y=f(x)의 그래프가 뾰족한 부분이 없고 매끄럽게 이어져 있을 때 그래프 위의 한 점에서 접선을 생각할 수 있다. 이 접선의 기울기는 접점 근처에서 x의 변화량과 y의 변화량의 비의 극한(極限)값으로 구할 수 있다. 이러한 개념을 일반화하여 미분을 정의할 수 있다.

◐ 미분의 정의
함수 f가 서로 다른 두 점 a,b를 원소로 갖는 구간에서 정의되어 있다고 하자. 이 때

 
를 x가 a에서 b까지 변화는 동안 f를 평균변화율이라고 한다, 이 평균변화율은 함수f의 그래프위의 두점(a, f(a)), (b,f(b)를 지나는 곡선의 기울기와 같다.
 
함수 f가 점 x0을 원소로 갖는 한 열린 구간 I에서 정의되어 있고, h≠0이며 x0+h∊I라고 하자. 이때

을 점 x0에서 증분 h에 대한 f의 차분몫이라고 부른다. h의 값이 0에 가까우면 이 차분몫은 x0 근처에서 f의 값이 얼마나 빠르게 변화하는지를 나타낸다.
차분몫 식 (2)에서 x0을 a로 바꾸고 h를 b-a로 바꾸면, 평균변화율 식 (1)이 된다. 이처럼 평균변화율과 차분몫은 비슷한 식이지만, 평균변화율은 두 점 a,b 모두에 관심을 갖는 반면, 차분몫(차분값)은 한 점 x0에 관심을 가진다는 점에서 사용이 다르다.
 
◐ 미분계수 정의
함수 f가 x0을 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의되었다고 하자. 만약 극한

이 존재하면(수렴하면), 이 극한값을 x0에서 f의 미분계수(derivative)라고 부르고 f’(x0)으로 나타낸다. 또한 점 x0에서 위 극한이 존재할 때 <f는 x0에서 미분 가능하다>라고 표현한다.
 
경제학을 처음 접하는 분들은 경제학에서 왜 도함수와 미분계수가 나오는가 하고 의아해 하는 사람들이 있을수 있다. 그 이유는 총비용함수를 1차 미분하면 한계비용함수가 되고, 총효용함수를 1차 미분하면 한계효용함수가 되며, 총생산함수를 1차 미분하면 한계생산함수가 되기 때문이다.

특히, 고급 미시경제학과 고급 거시경제학에서 대부분의 이론은 수학적 접근방법과 통계학적 방법에 의해서 설명될 수 있다.
 
일례를 들어보면, 총비용함수가 다음과 같다고 할때 MC는 1차 미분한 값이 된다. 즉